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-- The Agda standard library
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-- Boring lemmas used in Data.Nat.GCD and Data.Nat.Coprimality
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module Data.Nat.GCD.Lemmas where

open import Data.Nat
import Data.Nat.Properties as NatProp
open NatProp.SemiringSolver
open import Relation.Binary.PropositionalEquality
open ≡-Reasoning
open import Function

lem₀ = solve 2  n k  n :+ (con 1 :+ k)  :=  con 1 :+ n :+ k) refl

lem₁ :  i j  2 + i ≤′ 2 + j + i
lem₁ i j = NatProp.≤⇒≤′ $ s≤s $ s≤s $ NatProp.n≤m+n j i

lem₂ :  d x {k n} 
       d + x * k  x * n  d + x * (n + k)  2 * x * n
lem₂ d x {k} {n} eq = begin
  d + x * (n + k)    ≡⟨ solve 4  d x n k  d :+ x :* (n :+ k)
                                         :=  d :+ x :* k :+ x :* n)
                                refl d x n k 
  d + x * k + x * n  ≡⟨ cong₂ _+_ eq refl 
  x * n + x * n      ≡⟨ solve 3  x n k  x :* n :+ x :* n
                                       :=  con 2 :* x :* n)
                                 refl x n k 
  2 * x * n          

lem₃ :  d x {i k n} 
       d + (1 + x + i) * k  x * n 
       d + (1 + x + i) * (n + k)  (1 + 2 * x + i) * n
lem₃ d x {i} {k} {n} eq = begin
  d + y * (n + k)      ≡⟨ solve 4  d y n k  d :+ y :* (n :+ k)
                                           :=  (d :+ y :* k) :+ y :* n)
                                  refl d y n k 
  (d + y * k) + y * n  ≡⟨ cong₂ _+_ eq refl 
  x * n + y * n        ≡⟨ solve 3  x n i  x :* n :+ (con 1 :+ x :+ i) :* n
                                         :=  (con 1 :+ con 2 :* x :+ i) :* n)
                                  refl x n i 
  (1 + 2 * x + i) * n  
  where y = 1 + x + i

lem₄ :  d y {k i} n 
       d + y * k  (1 + y + i) * n 
       d + y * (n + k)  (1 + 2 * y + i) * n
lem₄ d y {k} {i} n eq = begin
  d + y * (n + k)          ≡⟨ solve 4  d y n k  d :+ y :* (n :+ k)
                                               :=  d :+ y :* k :+ y :* n)
                                      refl d y n k 
  d + y * k + y * n        ≡⟨ cong₂ _+_ eq refl 
  (1 + y + i) * n + y * n  ≡⟨ solve 3  y i n  (con 1 :+ y :+ i) :* n :+ y :* n
                                             :=  (con 1 :+ con 2 :* y :+ i) :* n)
                                      refl y i n 
  (1 + 2 * y + i) * n      

private
  distrib-comm =
    solve 3  x k n  x :* k :+ x :* n  :=  x :* (n :+ k)) refl

lem₅ :  d x {n k} 
       d + x * n  x * k 
       d + 2 * x * n  x * (n + k)
lem₅ d x {n} {k} eq = begin
  d + 2 * x * n      ≡⟨ solve 3  d x n  d :+ con 2 :* x :* n
                                       :=  d :+ x :* n :+ x :* n)
                                refl d x n 
  d + x * n + x * n  ≡⟨ cong₂ _+_ eq refl 
  x * k + x * n      ≡⟨ distrib-comm x k n 
  x * (n + k)        

lem₆ :  d x {n i k} 
       d + x * n  (1 + x + i) * k 
       d + (1 + 2 * x + i) * n  (1 + x + i) * (n + k)
lem₆ d x {n} {i} {k} eq = begin
  d + (1 + 2 * x + i) * n  ≡⟨ solve 4  d x i n  d :+ (con 1 :+ con 2 :* x :+ i) :* n
                                               :=  d :+ x :* n :+ (con 1 :+ x :+ i) :* n)
                                      refl d x i n 
  d + x * n + y * n        ≡⟨ cong₂ _+_ eq refl 
  y * k + y * n            ≡⟨ distrib-comm y k n 
  y * (n + k)              
  where y = 1 + x + i

lem₇ :  d y {i} n {k} 
       d + (1 + y + i) * n  y * k 
       d + (1 + 2 * y + i) * n  y * (n + k)
lem₇ d y {i} n {k} eq = begin
  d + (1 + 2 * y + i) * n      ≡⟨ solve 4  d y i n  d :+ (con 1 :+ con 2 :* y :+ i) :* n
                                                   :=  d :+ (con 1 :+ y :+ i) :* n :+ y :* n)
                                          refl d y i n 
  d + (1 + y + i) * n + y * n  ≡⟨ cong₂ _+_ eq refl 
  y * k + y * n                ≡⟨ distrib-comm y k n 
  y * (n + k)                  

lem₈ :  {i j k q} x y 
       1 + y * j  x * i  j * k  q * i 
       k  (x * k  y * q) * i
lem₈ {i} {j} {k} {q} x y eq eq′ =
  sym (NatProp.im≡jm+n⇒[i∸j]m≡n (x * k) (y * q) i k lemma)
  where
  lemma = begin
    x * k * i        ≡⟨ solve 3  x k i  x :* k :* i
                                       :=  x :* i :* k)
                                refl x k i 
    x * i * k        ≡⟨ cong  n  n * k) (sym eq) 
    (1 + y * j) * k  ≡⟨ solve 3  y j k  (con 1 :+ y :* j) :* k
                                       :=  y :* (j :* k) :+ k)
                                refl y j k 
    y * (j * k) + k  ≡⟨ cong  n  y * n + k) eq′ 
    y * (q * i) + k  ≡⟨ solve 4  y q i k  y :* (q :* i) :+ k
                                         :=  y :*  q :* i  :+ k)
                                refl y q i k 
    y *  q * i  + k  

lem₉ :  {i j k q} x y 
       1 + x * i  y * j  j * k  q * i 
       k  (y * q  x * k) * i
lem₉ {i} {j} {k} {q} x y eq eq′ =
  sym (NatProp.im≡jm+n⇒[i∸j]m≡n (y * q) (x * k) i k lemma)
  where
  lem   = solve 3  a b c  a :* b :* c  :=  b :* c :* a) refl
  lemma = begin
    y * q * i        ≡⟨ lem y q i 
    q * i * y        ≡⟨ cong  n  n * y) (sym eq′) 
    j * k * y        ≡⟨ sym (lem y j k) 
    y * j * k        ≡⟨ cong  n  n * k) (sym eq) 
    (1 + x * i) * k  ≡⟨ solve 3  x i k  (con 1 :+ x :* i) :* k
                                       :=  x :* k :* i :+ k)
                                refl x i k 
    x * k * i + k    

lem₁₀ :  {a′} b c {d} e f  let a = suc a′ in
        a + b * (c * d * a)  e * (f * d * a) 
        d  1
lem₁₀ {a′} b c {d} e f eq =
  NatProp.i*j≡1⇒j≡1 (e * f  b * c) d
    (NatProp.im≡jm+n⇒[i∸j]m≡n (e * f) (b * c) d 1
       (NatProp.cancel-*-right (e * f * d) (b * c * d + 1) (begin
          e * f * d * a        ≡⟨ solve 4  e f d a  e :* f :* d :* a
                                                   :=  e :* (f :* d :* a))
                                          refl e f d a 
          e * (f * d * a)      ≡⟨ sym eq 
          a + b * (c * d * a)  ≡⟨ solve 4  a b c d  a :+ b :* (c :* d :* a)
                                                   :=  (b :* c :* d :+ con 1) :* a)
                                          refl a b c d 
          (b * c * d + 1) * a  )))
  where a = suc a′

lem₁₁ :  {i j m n k d} x y 
       1 + y * j  x * i  i * k  m * d  j * k  n * d 
       k  (x * m  y * n) * d
lem₁₁ {i} {j} {m} {n} {k} {d} x y eq eq₁ eq₂ =
  sym (NatProp.im≡jm+n⇒[i∸j]m≡n (x * m) (y * n) d k lemma)
  where
  assoc = solve 3  x y z  x :* y :* z  :=  x :* (y :* z)) refl

  lemma = begin
    x * m * d        ≡⟨ assoc x m d 
    x * (m * d)      ≡⟨ cong (_*_ x) (sym eq₁) 
    x * (i * k)      ≡⟨ sym (assoc x i k) 
    x * i * k        ≡⟨ cong₂ _*_ (sym eq) refl 
    (1 + y * j) * k  ≡⟨ solve 3  y j k  (con 1 :+ y :* j) :* k
                                       :=  y :* (j :* k) :+ k)
                                refl y j k 
    y * (j * k) + k  ≡⟨ cong  p  y * p + k) eq₂ 
    y * (n * d) + k  ≡⟨ cong₂ _+_ (sym $ assoc y n d) refl 
    y * n * d + k